Как найти критический путь для сетевой модели

8.5 Сети. Критический путь

Часто приходится решать задачи, в которых каждому ребру заданного графа приписано некоторое положительное (неотрицательное) число (его вес). Обычно, граф нагруженный подобным образом, называется сетью, его вершины – узлами, а ребра – дугами.

Предположим, что требуется проанализировать сложный проект с точки зрения минимальных временных затрат на его выполнение. Для этого проект разбивают на отдельные этапы (работы, операции), оценивают время, необходимое на проведение каждой работы. Составляют таблицу, в которую заносят все виды работ по проекту, их продолжительность и последовательность выполнения.

По данным таблицы строится ориентированная сеть, дуги которой соответствуют работам проекта, а узлы – событиям, обозначающим начало и/или конец этапов. Каждая дуга нагружена числом, равным продолжительности выполнения соответствующей работы. Понятно, что операции, соответствующие дугам, исходящим из произвольного узла сети, не могут начаться прежде, чем закончатся операции, отвечающие дугам, входящим в этот узел.

Подобная сеть называется сетевым графиком проекта или диаграммой работ.

В результате вычерчивания диаграммы работ определяется путь, наибольшей продолжительностью. Этот путь называется критическим. Он и определяет минимальное время выполнения проекта. Работы, входящие в критический путь, называются критическими работами.

Рассмотрим пример построения сетевого графика, определения критического пути и критических работ, а также минимального времени выполнения всех работ.

Составлена таблица последовательности работ проекта, в которой также указаны предшествующие работы и записано время выполнения каждой работы. Построить сетевой график данного проекта.

Источник

Критический путь

Путь – любая последовательность работ, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующий за ней работы.
Полный путь L – любой путь, начало которого совпадает с исходным событием сети, а конец – с завершающим.
Наиболее продолжительный полный путь в сетевом графике называется критическим. Критическими также называются работы и события расположенные на этом пути. Работы этого пути определяют общий цикл завершения всего комплекса работ, планируемых при помощи сетевого графика. И для сокращения продолжительности проекта необходимо в первую очередь сокращать продолжительность работ, лежащих на критическом пути.

1. Составить экономическое содержание задачи и перечислить перечень работ.
2. Построить сетевой график и определить критический путь.
3. Рассчитать параметры сетевого графика и поздние сроки поступления событий, резервы времени.

Работа (i,j)	Количество предшествующих работ	Продолжительность tij	Ранние сроки: начало tij Р.Н.	Ранние сроки: окончание tij Р.О.	Поздние сроки: начало tij П.Н.	Поздние сроки:окончание tij П.О.	Резервы времени: полный tij П	Резервы времени: свободный tij С.В.	Резервы времени: событий Rj
(1,2)	0	3	0	3	1	4	1	0	1
(1,3)	0	6	0	6	0	6	0	0	0
(1,4)	0	4	0	4	9	13	9	9	0
(2,3)	1	2	3	5	4	6	1	1	0
(2,5)	1	5	3	8	12	17	9	2	7
(3,4)	2	7	6	13	6	13	0	0	0
(3,5)	2	4	6	10	13	17	7	0	7
(3,6)	2	4	6	10	15	19	9	9	0
(4,6)	2	6	13	19	13	19	0	0	0
(5,6)	2	2	10	12	17	19	7	7	0

Критический путь: (1,3)(3,4)(4,6)
Продолжительность критического пути: 19 Перейти к онлайн решению своей задачи Пример . Рассчитать параметры сетевого графика мероприятия по совершенствованию системы управления. Сетевая модель задана таблично. Продолжительность выполнения работ дана в виде минимальной и максимальной оценок. Требуется вычислить табличным методом все основные характеристики работ и событий, найти критический путь и его продолжительность.
Скачать

Источник

Параметры сетевых моделей и методы их расчета

Сетевая модель имеет ряд характеристик, которые позволяют определить степень напряженности выполнения отдельных работ, а также всего их комплекса и принять решение о перераспределении ресурсов.
Ранний срок наступления события t_р(i) — самый ранний из возможных сроков наступления события. Он равен продолжительности максимального пути от исходного события до данного.
t_р(i) = max t[L_р(i)] (2.1)
Например, t_р(7)=19, т.к. L₁=(1,2,4,7), L₂=(1,3,4,7),
t(L₁)=5+12=17 < t(L₂)=7+12=19.
Ранний срок начала работы t_р.н.(i,j) равен продолжительности максимального пути от исходного до начального события данной работы.
t_р.н.(i,j)=max t[L_n(i)](2.2)
Например, t_р.н.(7,11)=19, т.к. L₁=(1,2,4,7), L₂=(1,3,4,7),
t(L₁)=5+12=17 2)=7+12=19.
Ранний срок начала работы равен раннему сроку наступления начального события данной работы.
t_р.н.(i,j) = t_р(i) (2.3)
Ранний срок окончания работы t_р.о.( i,j) равен сумме раннего срока начала работы и продолжительности данной работы.
t_р.о.(i,j)= t_р.н.(i,j) + t(i,j) (2.4)
Например, t_р.о.(7,11)= t_р.н.(7,11) + t(7,11)= 19+8=27.
Поздний срок наступления события t_п( i) равен разности между продолжительностью критического пути и продолжительностью максимального пути от данного события до завершающего.
t_п(i) =T_кр — max t[L_к(i)](2.5)
Например, t_п(7)=19, т.к. L₁=(7,11), L₂=(7,9,11), t(L₁)=8 > t(L₂)=4,
t_п(7) = T_кр — max t[L_к(7)]=27 — 8=19.
Для событий критического пути t_р( i)=t_п(i), для других событий t_р(i)t_п(i).
Поздний срок окончания работы t_п.о.( i,j) – это самый поздний срок окончания работы, при котором планируемый срок окончания проекта не меняется, он равен разности между продолжительностью критического пути и продолжительностью максимального пути от конечного события данной работы до завершающего события.
t_п.о.(i,j)=T_кр — max t[L_к(j)] (2.6)
Поздний срок окончания работы равен позднему сроку наступления конечного события t_п.о.(i,j) = t_п(j). Например, t_п.о.(4,7) = t_п(7)=19.
Поздний срок начала работы t_п.н.( i,j) – самый поздний срок начала работы, при котором планируемый срок окончания проекта не меняется.
t_п.н.(i,j)= t_{п .о.}(i,j) — t(i,j) (2.7)
Например, t_п.н.(4,7)= t_п.о.(4,7) — t(4,7)=19-12=7.
Для работ критического пути ранние и поздние сроки начала и окончания работ равны: t_р.н.(4,7)= t_п.н.(4,7)=7, t_р.о.(4,7)= t_п.о.(4,7)=19.
Работы, не лежащие на критическом пути, могут иметь резервы времени.
Полный резерв времени R_п( i,j) – максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность данной работы, не изменяя продолжительности критического пути.
R_п (i,j)= t_п(j) — t_р(i) — t(i,j)
R_п(i,j)= t_п.н (i,j) — t_р.н.(i,j) (2.8)
R_п (i,j)= t_п.о.(i,j) — t_р.о.(i,j)
Свободный резерв времени R_с( i,j) равен разности между ранним началом последующей работы и ранним окончанием рассматриваемой работы.
R_с(i,j)= t_р.н (j,к) — t_р.о.(i,j) (2.9) Перейти к онлайн решению своей задачи

Читайте также:  Тенденции развития компьютерных сетей и интернета

Источник

Определение критического пути

Будем предполагать, что время выполнения каждой работы точно известно. Введем следующие определения.

Путь— последовательность взаимосвязанных работ, ведущая из одной вершины проекта в другую вершину. Например (см. Рисунок 48), и – два различных пути.

Рисунок 48. Различные пути на сетевом графике

Длина пути— суммарная продолжительность выполнения всех работ пути.

Полный путь— это путь от исходного к завершающему событию.

Критический путь— полный путь, суммарная продолжительность выполнения всех работ которого является наибольшей.

Очевидно, что минимальное время, необходимое для выполнения любого проекта равно длине критического пути. Именно на работы, принадлежащие критическому пути, следует обращать особое внимание. Если такая работа будет отложена на некоторое время, то время окончания проекта будет отложено на то же время. Если необходимо сократить время выполнения проекта, то в первую очередь нужно сократить время выполнения хотя бы одной работы на критическом пути.

Для того, чтобы найти критический путь, достаточно перебрать все пути и выбрать тот, или те из них, которые имеют наибольшую суммарную продолжительность выполнения работ. Однако для больших проектов реализация такого подхода связана с вычислительными трудностями. Метод критического пути (метод CPM — Critical Path Method) позволяет получить критический путь намного проще.

Расчет сетевой модели начинают с временных параметров событий, которые вписывают непосредственно в вершины сетевого графика (Рисунок 49):

• –ранний срок наступления события i, минимально необходимый для выполнения всех работ, которые предшествуют событию i;
• –поздний срок наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети;
• –резерв события i, т.е. время, на которое может быть отсрочено наступление события i без нарушения сроков завершения.

Читайте также:  Топология при которой сеть замыкается подключением первого и последнего компьютера называется

Рисунок 49. Параметры событий Ранние сроки наступления событий рассчитываются от исходного (S) к завершающему (F) событию следующим образом:

1. для исходного события S: ;
2. для всех остальных событий i: ,

где максимум берется по всем работам (k,i), входящим в событие i; — длительность работы (k,i) (см. Рисунок 50). Рисунок 50. Ранние сроки наступления событий Поздние сроки наступления событий рассчитываются от завершающего к исходному событию:

1. для завершающего события F: ;
2. для всех остальных событий i: ,

где минимум берется по всем работам (i,j), выходящим из события i; — длительность работы (i,j) (см. Рисунок 51). Рисунок 51. Поздние сроки наступления событий Условия критичности пути:

• необходимое условие: нулевые резервы событий, лежащих на критическом пути ;
• достаточное условие: нулевые полные резервы работ, лежащих на критическом пути .— показывает максимальное время, на которое можно увеличить длительность работы (i,j) или отсрочить ее начало, чтобы не нарушился срок завершения проекта в целом.

Пример Рассмотрим пример. Компания разрабатывает строительный проект. Исходные данные по основным операциям проекта представлены в таблице. Нужно построить сетевую модель проекта, определить критические пути и проанализировать, как влияет на ход выполнения проекта задержка работы D на 4 недели.

Работа	Непосредственно предшествующая работа	Длительность, недели
A	—	4
B	—	6
C	A, B	7
D	B	3
E	C	4
F	D	5
G	E,F	3

Сетевой график проекта показан на рисунке ниже (см. Рисунок 52). Рисунок 52. Пример. Сетевой график проекта Согласно необходимому условию два полных пути сетевой модели (см. Рисунок 52) имогут быть критическими. Проверим достаточное условие критичности для работ (1,2) и (1,3) , . Путь , начинающийся с работы (1,3) не является критическим, т.к. поскольку как минимум одна из его работ не является критической. Работа (1,3) имеет ненулевой полный резерв, а значит может быть задержана с выполнением, что недопустимо для критических работ. Таким образом, сетевая модель имеет единственный критический путь длительностью 20 недель. За выполнением работ этого пути необходим особый контроль, т.к. любое увеличение их длительности нарушит срок выполнения проекта в целом. Работа D или (2,5) не является критической, ее полный резерв равен 3-м неделям. Это означает, что при задержке работы в пределах 3-х недель срок выполнения проекта не будет нарушен. Поэтому если согласно условию работа D задержится на 4 недели, то весь проект закончится на 1 неделю позже.

Источник