Параметры сетевых моделей и методы их расчета
Сетевая модель имеет ряд характеристик, которые позволяют определить степень напряженности выполнения отдельных работ, а также всего их комплекса и принять решение о перераспределении ресурсов.
Ранний срок наступления события tр(i) — самый ранний из возможных сроков наступления события. Он равен продолжительности максимального пути от исходного события до данного.
tр(i) = max t[Lр(i)] (2.1)
Например, tр(7)=19, т.к. L1=(1,2,4,7), L2=(1,3,4,7),
t(L1)=5+12=17 < t(L2)=7+12=19.
Ранний срок начала работы tр.н.(i,j) равен продолжительности максимального пути от исходного до начального события данной работы.
tр.н.(i,j)=max t[Ln(i)](2.2)
Например, tр.н.(7,11)=19, т.к. L1=(1,2,4,7), L2=(1,3,4,7),
t(L1)=5+12=17
Ранний срок начала работы равен раннему сроку наступления начального события данной работы.
tр.н.(i,j) = tр(i) (2.3)
Ранний срок окончания работы tр.о.( i,j) равен сумме раннего срока начала работы и продолжительности данной работы.
tр.о.(i,j)= tр.н.(i,j) + t(i,j) (2.4)
Например, tр.о.(7,11)= tр.н.(7,11) + t(7,11)= 19+8=27.
Поздний срок наступления события tп( i) равен разности между продолжительностью критического пути и продолжительностью максимального пути от данного события до завершающего.
tп(i) =Tкр — max t[Lк(i)](2.5)
Например, tп(7)=19, т.к. L1=(7,11), L2=(7,9,11), t(L1)=8 > t(L2)=4,
tп(7) = Tкр — max t[Lк(7)]=27 — 8=19.
Для событий критического пути tр( i)=tп(i), для других событий tр(i)tп(i).
Поздний срок окончания работы tп.о.( i,j) – это самый поздний срок окончания работы, при котором планируемый срок окончания проекта не меняется, он равен разности между продолжительностью критического пути и продолжительностью максимального пути от конечного события данной работы до завершающего события.
tп.о.(i,j)=Tкр — max t[Lк(j)] (2.6)
Поздний срок окончания работы равен позднему сроку наступления конечного события tп.о.(i,j) = tп(j). Например, tп.о.(4,7) = tп(7)=19.
Поздний срок начала работы tп.н.( i,j) – самый поздний срок начала работы, при котором планируемый срок окончания проекта не меняется.
tп.н.(i,j)= tп .о.(i,j) — t(i,j) (2.7)
Например, tп.н.(4,7)= tп.о.(4,7) — t(4,7)=19-12=7.
Для работ критического пути ранние и поздние сроки начала и окончания работ равны: tр.н.(4,7)= tп.н.(4,7)=7, tр.о.(4,7)= tп.о.(4,7)=19.
Работы, не лежащие на критическом пути, могут иметь резервы времени.
Полный резерв времени Rп( i,j) – максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность данной работы, не изменяя продолжительности критического пути.
Rп (i,j)= tп(j) — tр(i) — t(i,j)
Rп(i,j)= tп.н (i,j) — tр.н.(i,j) (2.8)
Rп (i,j)= tп.о.(i,j) — tр.о.(i,j)
Свободный резерв времени Rс( i,j) равен разности между ранним началом последующей работы и ранним окончанием рассматриваемой работы.
Rс(i,j)= tр.н (j,к) — tр.о.(i,j) (2.9) Перейти к онлайн решению своей задачи
Сетевое планирование и управление
Изучение детерминированной и вероятностной сетевой модели планирования и управления.
Теоретические сведения
Основные понятия
Сетевое планирование и управление [5] – метод исследования и проектирования сложных систем. Метод позволяет провести анализ и оптимизацию процессов, состоящих из связанных подсистем или совокупности последовательных и взаимосвязанных работ и событий. Основой для анализа и расчетов процессов является математическая модель в виде ориентированного графа [Рис. 4 -5], называемая сетевой моделью.
Рис. 4‑5 Пример простейшей сетевой модели
Основными элементами сетевой модели являются событие, работа и путь.
Работа — процесс, связанный с затратами времени и ресурсов, и приводящий к достижению определенных результатов. (Работами следует считать также процессы, не требующие расходов ресурса, но только времени).
Ресурсы — материалы, сырье, оборудование, контингент исполнителей, необходимые для производства работы, финансовые средства и прочее.
Фиктивная работа отображает логическую связь работ и не требует расхода времени и ресурсов (работа (1,3) на Рис. 4 -5). Она только констатирует, что событие (3) не может произойти, пока не свершится событие (1).
В сетевых моделях работы отображаются направленными стрелками, фиктивная работа – пунктиром, рядом с ними изображаются длительности работ t(i,j).
Событие — факт завершения всех предшествующих работ и готовности к выполнению всех последующих.
Каждая работа в сети характеризуется:
начальным событием – (i);
конечным событием – (j);
Работы кодируются в терминах событий, т.е. каждая из них идентифицируется своими начальным и конечным событиями. Работы с одинаковыми i j не допускаются. В этом случае следует ввести фиктивные работы, которые обеспечивают необходимую развязку.
Исходное событие («самое начальное») сети (0) иногда обозначается (I); завершающее событие («самое конечное») – (С).
Нумерация событий
Для любой работы сетевой модели:
номер начального события должен быть меньше номера конечного события (i < j) и
каждый путь должен проходить по возрастающей последовательности номеров событий.
Для нумерации событий используется алгоритм вычеркивания дуг, который также позволяет обнаруживать структурные ошибки:
отыскивается начальное событие (в него не входит ни одна работа), которому присваивается номер 0.
зачеркиваются работы, выходящие из него;
определяются события, не имеющие входящих работ (первый ранг),
выявленные события нумеруются в произвольном порядке (1, 2 или 2, 1);
зачеркиваются работы, выходящие из них, определяются события второго ранга;
по достижении конечного события процесс прекращается.
Критический путь
Путь – последовательность работ в сети, в которой конечное событие любой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы.
Путь кодируется в событиях, через которые он проходит, например, путь (3,5,6), иногда он обозначается начальным и конечным событиями пути – L(3,6).
Наибольший интерес представляют собой полные пути (в дальнейшем – просто путь), идущие от начального события до конечного события.
Если известны все длительности работ на сетевой модели, то можно определить продолжительность любого пути T(L) как:
Например, для путей Рис. 4 -5:
T(L(0,1,4,6))=28;
T(L(0,1,3,5,6))=30;
T(L(0,3,5,6))=27;
T(L(0,2,5,6))=23;
T(L(0,2,6))=21.
Путь, имеющий наибольшую продолжительность, называется критическим. Lкр, и длительность его обозначается Tкр.
В рассматриваемом примере Lкр =(0, 1, 3, 5, 6), Tкр =30.
Работы, находящиеся на критическом пути, называются критическими. В рассматриваемом случае это работы (0,1), (1,3), (3,5), (5,6).
Критические работы выделяются на сетевой модели жирными или двойными стрелками.
Время выполнения проекта в целом не может быть меньше Tкр, поэтому первая задача при анализе сетевых моделей – выявление Lкр и критических работ и поиск возможностей по сокращению их длительности. Нахождение критического пути является основной задачей метода критического пути. В методах анализа сетевой модели используются временные характеристики событий и работ.
Критический путь
Путь – любая последовательность работ, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующий за ней работы.
Полный путь L – любой путь, начало которого совпадает с исходным событием сети, а конец – с завершающим.
Наиболее продолжительный полный путь в сетевом графике называется критическим. Критическими также называются работы и события расположенные на этом пути. Работы этого пути определяют общий цикл завершения всего комплекса работ, планируемых при помощи сетевого графика. И для сокращения продолжительности проекта необходимо в первую очередь сокращать продолжительность работ, лежащих на критическом пути.
- Составить экономическое содержание задачи и перечислить перечень работ.
- Построить сетевой график и определить критический путь.
- Рассчитать параметры сетевого графика и поздние сроки поступления событий, резервы времени.
| Работа (i,j) | Количество предшествующих работ | Продолжительность tij | Ранние сроки: начало tij Р.Н. | Ранние сроки: окончание tij Р.О. | Поздние сроки: начало tij П.Н. | Поздние сроки:окончание tij П.О. | Резервы времени: полный tij П | Резервы времени: свободный tij С.В. | Резервы времени: событий Rj |
| (1,2) | 0 | 3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 |
| (1,3) | 0 | 6 | 0 | 6 | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| (1,4) | 0 | 4 | 0 | 4 | 9 | 13 | 9 | 9 | 0 |
| (2,3) | 1 | 2 | 3 | 5 | 4 | 6 | 1 | 1 | 0 |
| (2,5) | 1 | 5 | 3 | 8 | 12 | 17 | 9 | 2 | 7 |
| (3,4) | 2 | 7 | 6 | 13 | 6 | 13 | 0 | 0 | 0 |
| (3,5) | 2 | 4 | 6 | 10 | 13 | 17 | 7 | 0 | 7 |
| (3,6) | 2 | 4 | 6 | 10 | 15 | 19 | 9 | 9 | 0 |
| (4,6) | 2 | 6 | 13 | 19 | 13 | 19 | 0 | 0 | 0 |
| (5,6) | 2 | 2 | 10 | 12 | 17 | 19 | 7 | 7 | 0 |
Критический путь: (1,3)(3,4)(4,6)
Продолжительность критического пути: 19 Перейти к онлайн решению своей задачи Пример . Рассчитать параметры сетевого графика мероприятия по совершенствованию системы управления. Сетевая модель задана таблично. Продолжительность выполнения работ дана в виде минимальной и максимальной оценок. Требуется вычислить табличным методом все основные характеристики работ и событий, найти критический путь и его продолжительность.
Скачать