Характеристики элементов сетевой модели
При расчетах для сетевой модели определяются следующие характеристики ее элементов.
Характеристики событий
1. Ранний срок свершения события tp(0) = 0, tp(j) = maxitp(i) + t(ij)>, j = 1 – N характеризует самый ранний срок завершения всех путей, в него входящих. Этот показатель определяется «прямым ходом» по графу модели, начиная с начального события сети.
2. Поздний срок свершения события tп(N) = tp(N), tп(i) = minjtп(j) – t(ij)>, i = 1 – (N – 1) характеризует самый поздний срок, после которого остается ровно столько времени, сколько требуется для завершения всех путей, следующих за этим событием. Этот показатель определяется «обратным ходом» по графу модели, начиная с завершающего события сети.
3. Резерв времени события R(i) = tп(i) – tp(i) показывает, на какой максимальный срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ.
Резервы времени для событий на критическом пути равны нулю, R(i) = 0.
Характеристики работы (I, j)
1. Ранний срок начала работы: t pн ( i , j ) = t p ( i ) .
2. Ранний срок окончания работы: t po ( i , j ) = t pн ( i , j ) + t ij = t p ( i ) + t ij .
3 . Поздний срок начала работы : t пн ( i , j ) = t п ( j ) – t ij .
4 . Поздний срок окончания работ ы : t по ( i , j ) = t п ( j ) .
5. Резервы времени работ:
• полн ы й резерв R п ( i , j ) = t п ( j ) – t p ( i ) – t ij –
макс и м а л ьный за п а с в р емен и , на который можно отсрочить начало или
увеличить длительность работы без увеличения длительности критического пути. Работы на критическом пути не имеют полного резерва времени, для них Rп(i, j) = 0;
• частный резерв R 1 ( i , j ) = R п ( i , j ) – R ( i ) = t п ( j ) – t п ( i ) – t ij –
час т ь полного резерва, н а которую можно увеличить продол ж ительнос т ь
работы, не изменив позднего срока ее начального события;
• свободный резерв R с ( i , j ) = R п ( i , j ) – R ( j ) = t p ( j ) – t p ( i ) – t ij –
макс и м а л ьный запас времен и , на который можно задержа т ь начало работы или
(если она началась в ранний срок) увеличит ее продолжительность, не изменяя ранних сроков начала последующих работ;
• независимый резерв R н ( i , j ) = R п ( i , j ) – R ( i ) – R ( j ) = t p ( j ) – t п ( i ) – t ij –
запас в р емен и , при котором в с е предшеств у ющие работы заканчиваются в
поздние сроки, а все последующие – начинаются в ранние сроки. Использование этого резерва не влияет на величину резервов времени других работ.
Сделаем ряд замечаний. Работы, лежащие на критическом пути, резервов времени не имеют. Если на критическом пути Lкр лежит начальное событие i работы (i, j), то Rп(i, j) = R1(i, j). Если на Lкр лежит конечное событие j работы (i, j), то Rп(i, j) = Rc(i, j). Если на Lкр лежат и событие i, и событие j работы (i, j), а сама работа не принадлежит критическому пути, то Rп(i, j) = Rс(i, j) = Rн(i, j).
Характеристики путей
1. Продолжительность пути равна сумме продолжительностей составляющих ее работ.
2. Резерв времени пути равен разности между длинами критического
пути и рассматриваемого пути.
Резерв времени пути показывает, на сколько может увеличиться продолжительность работ, составляющих данный путь, без изменения
продолжительности срока выполнения всех работ.
В сетевой модели можно выделить так называемый критический путь. Критический путь Lкр состоит из работ (i, j), у которых полный резерв времени равен нулю Rп(i, j) = 0, кроме этого, резерв времени R(i) всех событий i на критическом равен 0. Длина критического пути определяет величину наиболее длинного пути от начального до конечного события сети и равнаtкр = tp(N) = tп(N). Заметим, что в проекте может быть несколько критических путей.
3. Коэффициент напряженности работ
Видно, что Кн(i, j) 1. Чем ближе Кн(i, j) к 1, тем сложнее выполнить данную работу в установленный срок. Напряженность критических работ полагается равной 1. Все работы сетевой модели могут быть разделены на 3 группы: напряженные (Кн(i, j) > 0,8), надкритические (0,6 < Кн(i, j) < 0,8) и резервные (Кн(i, j) < 0,6).
В результате перераспределения ресурсов стараются максимально уменьшить общую продолжительность работ, что возможно при переводе всех работ в первую группу.
Расчет и исследование сетевой модели
Расчет сетевой модели заключается в определении
- критического времени и критического пути;
- полных, независимых и частных резервов времени работ;
- резервов времени событий.
Удобно исследование сетевой модели изображать линейной диаграммой (графиком Ганта), в которой каждая работа – отрезок, параллельный оси времени. Длина этого отрезка равна продолжительности работы в выбранном масштабе. События i и j начала и конца работы uij ставят в начале и конце соответствующего отрезка. Отрезки располагают один над другим, снизу вверх, в порядке возрастания индексации. Момент наступления исходного события равен 0. Каждый отрезок (i,j) размещают на диаграмме таким образом, чтобы его начало совпало с самым правым концом всех отрезков, входящих в событие i. На рис. 2.11 представлена линейная диаграмма сетевого графика, изображенного на рис. 2.10. 
2
4 5 
Н 
3 5 
3 4 
2 5 
1 3 
0 3 
0 2 1
0 1 
0 1 2 3 4 5 10 t Рис. 2.11 Линейная диаграмма сетевой модели Не трудно заметить, что исходная линейная диаграмма отражает такой ход ведения работ, при котором все работы начинаются в свои ранние сроки. С помощью линейной диаграммы можно определить критический путь, критическое время, резервы времени всех работ и т.д. Критический путь представляет собой цепочку отрезков-работ, соединяющих завершающее событие самого правого отрезка с исходным. Критическое время равно самой правой координате всех отрезков линейной диаграммы. Полный резерв времени работы равен максимальному сдвигу соответствующего отрезка вправо, который при этом не приведет к увеличению критического времени. Так, Pп(4,5) = 6, Pп(1,3) = 6. На диаграмме символами н, 1, 2 обозначены работы, имеющие соответственно независимый и частные резервы 1-го и 2-го вида. Жирной рамкой выделены критические работы. После расчета сетевой модели переходят к ее исследованию, целью которого является получение такого графика выполнения работ, который наиболее полно удовлетворяет каким-то критериям. Для этого можно увеличивать длительность или задерживать начало выполнения работ, во-первых, на величину их независимых резервов, что не требует пересчета резервов других работ, во-вторых, на величину их свободного резерва (т.е. частного резерва 2-го вида), так как это не влечет за собой пересчет резервов последующих работ и т.д. Тем самым от исходной переходят к другим линейным диаграммам, в которых работы могут либо начинаться не в свои ранние сроки, либо выполняться более начальной продолжительности, однако при этом срок завершения всего комплекса работ не меняется, оставаясь равным критическому.
Лекция 2.3.3. Более сложные сетевые модели
Вероятностная временная сетевая модель
Второй также наиболее часто встречающейся сетевой моделью является одноцелевая временная вероятностная модель. Эта модель отличается тем, что продолжительности работ задаются как случайные величины. Такая модель более близка к условиям подсистемы ТПП. В настоящее время существуют две методики задания параметров распределения продолжительности работ:
- трехоценочная;
- двухоценочная.
При использовании первой методики эксперт задает 3 оценки продолжительности работы:
- оптимистическую τijmin;
- наиболее вероятную τijнв;
- пессимистическую τijmax.
Наиболее вероятная оценка – это время, необходимое для выполнения данной работы при нормальных, чаще всего встречающихся условиях (определяется первой). Оптимистическая оценка – это время, необходимое для выполнения работы при наиболее благоприятном стечении обстоятельств (определяется второй). Пессимистическая оценка – это время, необходимое для выполнения работ при неблагоприятных условиях. Как вы знаете, продолжительность работы связана с количеством ресурсов, выделяемых на ее проведение. Поэтому необходимо отметить, что для определения временных характеристик продолжительности работы эксперты должны руководствоваться максимальными значениями ресурсов. При использовании второй методики исключается наиболее вероятная оценка τijнв, определение которой вызывает у экспертов особые трудности и пользуются только двумя оценками τijmin и τijmax. На основе опытных данных установлено, что в большинстве случаев законы распределения продолжительностей работ обладают положительной асимметрией, распределение более круто в области τijmin. Это позволило из множества теоретических законов распределения выбрать закон β-распределения, кривая плотности которого имеет вид, представленный на рис.2.12. П
ри этом оценки математического ожидания и дисперсии β-распределения определяются следующим образом: 
P
(t) 
мода tijож tij
tijmin tijнв tijmax Рис. 2.12 Вид плотности распределения продолжительности работ По второй методике: П
ервый этап расчета временной вероятности модели заключается в определении:
- ожидаемого времени выполнения работ τijож и оценки дисперсии σ 2 ij.
- всех временных параметров модели по тем же алгоритмам, что и у детерминированной временной модели, заменив τij на τijож.
Второй этап расчета заключается в определении вероятности наступления каждого события сети не позднее директивных сроков. Обозначим через μi – случайную величину, характеризующую ранний срок наступления события i. Если событие i связано с исходным событием лишь одним путем L(0i), то оценка математического ожидания μiопределяется суммой ожидаемых продолжительностей работ, принадлежащих этому пути tож[L(0i)], а оценка дисперсии σ 2 (μi) представляет собой сумму дисперсий продолжительностей тех же работ. В случае, если имеется более одного пути, предшествующего i-му событию, то упрощенно предполагается, что в этом случае μi и σ 2 (μi) вычисляется с использованием характеристик предшествующего пути, имеющего максимальную продолжительность max t[L(0i)]. Если же несколько путей имеют максимальную продолжительность, то для определения дисперсии выбирается путь с максимальной дисперсией продолжительности, так как он характеризуется большой неопределенностью, а, следовательно, дает более надежный результат. Т
аким образом, где k означает работы, принадлежащие самому длинному пути, предшествующему событию i. При этом предполагается, что величина μi является суммой независимых случайных величин, и, следовательно, согласно центральной предельной теореме, распределение μi близко к нормальному, а величины (*) являются оценками математического ожидания и дисперсии. Поскольку μi есть ранний срок наступления события i, то это событие наступит не позднее директивного срока TДi с вероятностью P( μi ≤ TДi ). Переходя к стандартному нормальному распределению величины п
олучим З
десь Ф – стандартное (нормированное) нормальное распределение величиныxi, Ki – квантиль данного распределения. Обычно в качестве директивных сроков всех событий кроме завершающего используют поздний срок его свершения Ti п . Для завершающего события величина TД определяется лицом, принимающим решение, причем Tn P ож = tкр.