Временные характеристики сетевых моделей
Сетевая модель позволяет определить временные характеристики проекта и входящих в него работ. Эта информация, наряду с требуемыми ресурсами, представляет основной интерес управленцев. Наиболее важным в этом направлении представляется выделение критических работ – таких работ, задержке в выполнении и завершении которых приводит к задержке срока завершения всего проекта. Именно этим критическим работам должно быть уделено основное внимание. На основе понятия критической работы введём понятие критического пути. Критический путь представляет собой полный путь, составленный из критических работ. Некритические работы отличаются от критических тем, что существует некоторое время, называемое резервом времени работы, на которое можно отложить начало этой работы. Управленцев также интересуют и другие типы ресурсов – материальные, людские. Расчёт этих видов ресурсов задача более простая и мы сосредоточимся на расчёте только временных характеристик.
Определим ранний срок наступления события под номером i, как максимальную продолжительность всех путей, начинающихся с начального события и оканчивающихся в событии i.
где Lpi – путь, предшествующий событию i. Действительно, по сути определения события i, оно не может совершиться, пока не будут выполнены все работыв этом событии оканчивающиеся. Если через t (i, j) обозначить длительность выполнения работы (i, j), то предыдущая формула может быть записана в виде:
где j – событие – начало работы (j, i), при этом в силу упорядоченности сетевой модели j! Рассчитывая теперь ранние сроки наступления событий при i=2,3,….Nmax, найдём tраннее(Nmax), которое будет временем выполнения проекта в целом: tкритическое=tраннее(Nmax).
Задержка свершения события по отношению к своему раннему сроку не отразится по времени свершения завершающего события (на сроке завершения выполнения проекта) до тех пор, пока сумма позднего срока и продолжительность максимального из последующих за ним путей, начинающихся в этом событии i и оканчивающихся в завершающем событии, не превысит длительность критического пути:
где Lci – путь, начинающийся в событии i и оканчивающийся в завершающемся событии проекта. Значит:
Удобно эту формулу переписать так
Этот параметр удобно рассчитывать при i=Nmax, Nmax-1. 1. Под резервом времени события i будем понимать величину .
Резерв времени R(i) события определяет длительность промежутка времени, на который можно отсрочить это событие, не вызывая при этом увеличения продолжительности выполнения проекта. Следовательно, события, лежащие на критическом пути, резерва времени не имеют. Из этого следует способ определения событий, лежащих на критическом пути и самого критического пути. Однако, если критических путей несколько, от этого ни один проект не застрахован, то для определения критических путей необходимо определять критические работы. Этим будет устраняться неопределённость в том, что при наличии нескольких критических путей, возможна ситуация, когда между двумя ближайшими критическими событиями может не быть критической работы!
Резерв времени полного пути L можно определить как разность между длительностью проекта и суммой продолжительностей работ, составляющих путь L:
Можно условиться называть длиной пути L сумму длительностей работ его составляющих. Величина R(L) характеризует величину суммарной продолжительности, на которую может быть увеличено время выполнения всех работ, составляющих L. Если затормозить выполнение работ, составляющих путь L, на величину большую, чем R(L), то этот путь сам станет критическим. Итак, любая работа, лежащая на некритическом полном пути L, должна иметь резерв времени, иначе она должна являться критической.
Для работ сетевого графика вводятся следующие временные параметры:
1. ранний срок начала работы tрн(i, j) = tраннее(i);
2. ранний срок окончания работы tро(i, j) = tраннее(i) + t(i, j);
3. поздний срок окончания работы tпо(i, j) = tпозднее(j);
4. поздний срок начала работы tпн(i, j) = tпозднее(j)-t(i, j);
Имеем очевидные неравенства для этих параметров:
где tначало(i, j) и tокончание(i, j) – время начала и окончания работы.
5. полный резерв времени работы.
Вычислим ∆ (i, j) = tпозднее(j)-tраннее(i), если ∆ (i, j)= t(i, j), то работа лежит на критическом пути, так как задержка в выполнении этой работы изменит время выполнения проекта в целом. Если ∆ (i, j) > t(i, j), то работы есть резерв времени, называемый полным:
Интересным свойством полного резерва времени Rп(i, j) является его двойственность, с одной стороны, он характеризует работу (i, j), а с другой – относится ко всем полным путям, проходящим через работу (i, j). Если мы исчерпаем полный резерв времени (i, j) для этой и только этой работы, то резервы времени остальных работ этого пути будут также исчерпаны, и этот путь станет критическим.
Аналогично вводятся следующие величины:
6. частный резерв времени первого вида R1(i, j)
7. частный резерв времени второго вида (или свободный резерв времени) Rс(i, j) = tраннее(j) — tраннее(i) — t(i, j)
8. независимый резерв времени Rн(i, j) = tраннее(j) – tпозднее(i) — t(i, j).
Эти временные параметры определённым образом характеризуют возможность (или невозможность!), имеющуюся у руководителя проекта в маневре времени начала или завершения работ. Для сложных проектов рассчитанные характеристики фиксируются в соответствующих таблицах. Если проекты достаточно простые, то эти временные характеристики можно изображать на самих сетевых моделях, как показано ниже.
Параметры сетевых моделей и методы их расчета
Сетевая модель имеет ряд характеристик, которые позволяют определить степень напряженности выполнения отдельных работ, а также всего их комплекса и принять решение о перераспределении ресурсов.
Ранний срок наступления события tр(i) — самый ранний из возможных сроков наступления события. Он равен продолжительности максимального пути от исходного события до данного.
tр(i) = max t[Lр(i)] (2.1)
Например, tр(7)=19, т.к. L1=(1,2,4,7), L2=(1,3,4,7),
t(L1)=5+12=17 < t(L2)=7+12=19.
Ранний срок начала работы tр.н.(i,j) равен продолжительности максимального пути от исходного до начального события данной работы.
tр.н.(i,j)=max t[Ln(i)](2.2)
Например, tр.н.(7,11)=19, т.к. L1=(1,2,4,7), L2=(1,3,4,7),
t(L1)=5+12=17
Ранний срок начала работы равен раннему сроку наступления начального события данной работы.
tр.н.(i,j) = tр(i) (2.3)
Ранний срок окончания работы tр.о.( i,j) равен сумме раннего срока начала работы и продолжительности данной работы.
tр.о.(i,j)= tр.н.(i,j) + t(i,j) (2.4)
Например, tр.о.(7,11)= tр.н.(7,11) + t(7,11)= 19+8=27.
Поздний срок наступления события tп( i) равен разности между продолжительностью критического пути и продолжительностью максимального пути от данного события до завершающего.
tп(i) =Tкр — max t[Lк(i)](2.5)
Например, tп(7)=19, т.к. L1=(7,11), L2=(7,9,11), t(L1)=8 > t(L2)=4,
tп(7) = Tкр — max t[Lк(7)]=27 — 8=19.
Для событий критического пути tр( i)=tп(i), для других событий tр(i)tп(i).
Поздний срок окончания работы tп.о.( i,j) – это самый поздний срок окончания работы, при котором планируемый срок окончания проекта не меняется, он равен разности между продолжительностью критического пути и продолжительностью максимального пути от конечного события данной работы до завершающего события.
tп.о.(i,j)=Tкр — max t[Lк(j)] (2.6)
Поздний срок окончания работы равен позднему сроку наступления конечного события tп.о.(i,j) = tп(j). Например, tп.о.(4,7) = tп(7)=19.
Поздний срок начала работы tп.н.( i,j) – самый поздний срок начала работы, при котором планируемый срок окончания проекта не меняется.
tп.н.(i,j)= tп .о.(i,j) — t(i,j) (2.7)
Например, tп.н.(4,7)= tп.о.(4,7) — t(4,7)=19-12=7.
Для работ критического пути ранние и поздние сроки начала и окончания работ равны: tр.н.(4,7)= tп.н.(4,7)=7, tр.о.(4,7)= tп.о.(4,7)=19.
Работы, не лежащие на критическом пути, могут иметь резервы времени.
Полный резерв времени Rп( i,j) – максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность данной работы, не изменяя продолжительности критического пути.
Rп (i,j)= tп(j) — tр(i) — t(i,j)
Rп(i,j)= tп.н (i,j) — tр.н.(i,j) (2.8)
Rп (i,j)= tп.о.(i,j) — tр.о.(i,j)
Свободный резерв времени Rс( i,j) равен разности между ранним началом последующей работы и ранним окончанием рассматриваемой работы.
Rс(i,j)= tр.н (j,к) — tр.о.(i,j) (2.9) Перейти к онлайн решению своей задачи
Временные, стоимостные и ресурсные параметры сетевой модели
Продолжительность выполнения работы непосредственно связана с ресурсами, необходимыми для ее выполнения. Чем больше ресурсов отпущено на выполнение работы, тем меньше ее длительность. Если при выполнении какого-либо комплекса работ ресурсы практически не ограничены, то для решения таких задач используют сетевые модели без учета ресурсов. Метод решения таких задач наиболее прост. Наряду с продолжительностью выполнения работ к временным параметрам сетевой модели относят:
- момент начала выполнения комплекса работ – это минимальный из моментов начала работ комплекса;
- момент завершения комплекса работ – максимальный из моментов окончания работ комплекса;
- продолжительность выполнения комплекса работ – промежуток между моментами начала и завершения комплекса;
- продолжительность пути – сумма продолжительностей выполнения всех работ пути;
- директивные сроки – верхние ограничения моментов свершения целевых или контрольных событий;
К стоимостным параметрам сетевой модели относят информацию о затратах, которые связаны с количеством используемых на работе ресурсов. Денежное выражение этих затрат и называется стоимостью работы. Обычно учитывают прямые и косвенные затраты. Прямые затраты – это затраты материальных и трудовых ресурсов, предназначенных для выполнения данной работы. Косвенные– это затраты, предусмотренные на содержание и организацию работы управленческого персонала, потери от замораживания средств от момента вложения их в проект до сдачи выполненного проекта в эксплуатацию. Иногда в сетевых моделях используют зависимость стоимость-время, учитывающую влияние условий выполнения работы на ее продолжительность и стоимость, причем обычно стоимость работ убывает с возрастанием продолжительности. Ресурсы, используемые для выполнения работ, включают материалы, полуфабрикаты, различное технологическое оборудование, топливо, трудовые ресурсы (различных специалистов). Все ресурсы делятся на два типа:
- складируемые;
- нескладируемые;
Складируемые ресурсы (или ресурсы типа материалов) – это такие ресурсы, которые, будучи недоиспользованными в данный момент времени, могут быть использованы в любой последующий момент времени (материалы, полуфабрикаты, топливо, сырье, финансовые ресурсы и т.д.). Нескладируемые ресурсы(или ресурсы типа мощности) – это такие ресурсы, которые, будучи недоиспользованными в данный момент времени, не могут быть использованы в дальнейшем (трудовые ресурсы, технологическое оборудование, производственные площади и т.д.). В качестве количественной характеристики потребности складируемого ресурса для выполнения работы чаще всего используется число, характеризующее общее количество данного вида ресурса в натуральном выражении, обеспечивающее всю работу целиком. Однако в связи с тем, что для одних работ ресурс может потребоваться сразу в момент их начала, а для других – равномерно в течение их выполнения, иногда в качестве количественной характеристики потребности в складируемом ресурсе используется зависимость потребного количества Rijот объема выполнения работыQij(рис. 2.9а). 
rij Rij
Qijtij а) б) Рис. 2.9 График потребления ресурса (а) и график интенсивности потребления ресурса (б) Потребность какого-либо вида складируемого ресурса для выполнения всего комплекса работ определяется сложением потребностей отдельных работ сетевой модели, использующих данный вид ресурса. Этой потребности соответствует потребный график поставок данного вида ресурса, в котором указываются моменты поступления и соответствующие размеры поставок. Потребность работы в нескладируемом ресурсе чаще всего задается количеством единиц ресурса, используемых в единицу времени, т.е. интенсивностью потребления ресурса на работе uij — rij. Такая потребность описывается функцией потребления ресурса во времени (рис. 2.9б). В случае если на работе используется один вид ресурса, то объем работы можно выразить через интенсивность потребления и продолжительность работы в виде площади под графиком интенсивности потребления ресурса Qij= rijtij. Потребность какого-либо вида нескладируемого ресурса для всего комплекса работ определяется графиком общей интенсивности потребления ресурса в каждый момент времени.